Betriebswirtschaft (BWL) (Fach) / Quantitative Methoden (Lektion)

SS 2016

Diese Lektion wurde von aussie007 erstellt.

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• Halo-Effekt = Positions-, Fragekontext-, oder FragereiheneffektD.h. Fragen die jeweils vor gewissen Fragen platziert sind können die Antwort auf die Folgefrage beeinflussen.
• Missing Values entstehen durch – Flüchtigkeitsfehler oder falsch angenommene Annahmen des Forschers– Probleme die Entstehen, auf die der Forscher keinen Einfluss hat– Durch die Antwortmöglichkeiten der Befragten– Etc. -->Wir unterscheiden zwischen: ignorierbaren und nicht-ignorierbarenMissing Values!
• Variationen von Missing Data Missing Completely at Random (MCAR)= vollkommen zufälliger Ausfall.-Die fehlenden Daten sind unkorreliert-Ausfälle sind ignorierbar Missing at Random (MAR)= zufälliger Ausfall Missing Not at Random (MNAR)= nicht zufälliger Ausfall-Die Ausfallwahrscheinlichkeiten sind nicht unabhängig von den Ausprägungen der interessierenden Variablen. Daher nicht ignorierbar.
• Ausreißer = das Auftreten von Werten, die erheblich von der Masse der Daten abweichen und die statistischen Analysen stören.Problem:-berechnete Maßzahlen charakterisieren nicht mehr unbedingt die Situation der Datenmehrheit-Schätz- und Testergebnisse können verzerrt werden, die konfirmatorische Statistik gibt Anlass zu falschen Hypothesen, in der deskriptiven Statistik können nicht plausible Maßzahlen ermittelt werdenWann ist ein Wert ein Ausreißer?Daumenregel: Beobachtungen, die von den mittleren 50% der Werte mehr als drei mal dieser Distanz entfernt liegen Lösung:-Verteilung der Beobachtungen ansehen und auf Ausreißer reagieren:-Verschiedene Streudiagramme identifizieren einflussreiche Ausreißer
• Streuungsmaße Varianz = mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwerts^2=1/n ∑(xi-"x quer")hoch2-Standardabweichung = Quadratwurzel aus der Varianz-Voraussetzung für die Berechnung der Varianz und der Standardabweichung ist das metrische SkalenniveauInterpretation: Wie stark streuen die Daten um den Mittelwert?Schiefe: Wenn die Werte nicht symmetrisch um den Mittelwert liegen, liegt eine schiefe Verteilung vor- In diesem Fall reichen die Standardabweichung und der Mittelwert nicht mehr aus, um die Verteilung ausreichend zu beschreiben- Verteilungen können rechtsschief (linkssteil), linksschief (rechtssteil) oder symmetrisch sein
• Reduzierung der Schiefe Falls die Schiefe signifikant ist, dann verwenden Sie „Ladder of Powers“ Nicht-lineare Transformationen haben einen Einfluss auf die Schiefe!-Y3 reduziert extreme Linksschiefe-Y2 reduziert Linksschiefe-Y1 belässt Variable unverändert-ln(Y) reduziert Rechtsschiefe-Y-1 reduziert extreme Rechtsschiefe
• Kurtosis Kurtosis = Wölbung einer Verteilung (auch Exzess genannt) -Eine Verteilung besitzt eine Kurtosis, wenn die Variablen zwar identisch mit dem Mittelwert und der Standardabweichung sind, zudem symmetrisch verteilt sind , allerdings eine unterschiedliche Wölbung besitzen
• Konfidenzintervall -Sicheres Wissen über Grundgesamtheit kann man anhand von Stichproben nicht gewinnen. -Aber mit Hilfe der Statistik können Intervalle angegeben werden, innerhalb derer sich die Parameter der Grundgesamtheit wahrscheinlich bewegen. Diese Bandbreiten nennt man Konfidenzintervalle.
• Auswahl von Konfidenzintervallen -Um ein Intervall anzugeben, in dem der geschätzte Wert für die Grundgesamtheit „wahrscheinlich“ liegt, benötigt man eine Irrtumswahrscheinlichkeit. -Eine Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha= 5 % bedeutet, dass dieses Intervall den gesuchten Wert der Grundgesamtheit mit 95 % Wahrscheinlichkeit enthält. -Eine (gesetzte) Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% bedeutet, dass das Intervall die mittleren 95% der Kennwerteverteilung überdeckt, bzw. jeweils 2,5 % (zweiseitiger Test) auf der linken und der rechten Seite der Kennwerteverteilung werden nicht berücksichtigt.
• Der Standardfehler (Standard Error (SE)) -Ein Maß für die Streuung einer Stichprobenstatistik über alle möglichen Zufallsstichproben vom Umfang n aus der Grundgesamtheit-Vereinfachend gesagt: Er ist ein Maß für die durchschnittliche Größe des Stichprobenfehlers der Stichprobenstatistik (z.B. des arithmetischen Mittels oder des Anteilswertes)-Wovon ist der SE abhängig?  -Stichprobengröße (je größer n, umso kleiner SE)  -Streuung der Werte in der Grundgesamtheit (Je größer die Streuung, umso größer der SE)
• Statistische Schätzungen -dienen dazu, Aussagen über die unbekannte Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit oder deren Parameter anhand von Stichproben aus dieser Grundgesamtheit machen zu können-Bei Parametertests interessieren konkrete Werte wie Varianz oder Mittelwert-Ein parametrisches Prüfverfahren macht also Aussagen über Grundgesamtheitsparameter-Dazu müssen alle Parameter der Grundgesamtheit bekannt sein (was oft nicht gegeben ist)-Parametrische Tests gehen davon aus, dass die beobachteten Stichprobendaten einer Grundgesamtheit entstammen, in der die Variablen oder Merkmale ein bestimmtes Skalenniveau und eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen, häufig Intervallskalenniveau und Normalverteilung.
• Günstige Eigenschaften von Schätzern -Erwartungstreue: Der Erwartungswert (Mittelwert) der Kennwerteverteilung soll dem wahren Parameter in der GG entsprechen-Effizienz: Die Streuung des Schätzers soll möglichst klein sein(d. h., die Schätzwerte sollen möglichst häufig möglichst nahe am wahren Wert liegen)-Konsistenz: Mit zunehmendem Stichprobenumfang sollen Abweichungen vom wahren Wert geringer werden
• Die Normalverteilung -Eine um das arithmetische Mittel, symmetrische stetige, glockenförmige Verteilung, die allein durch das arithmetische Mittel und die Standardabweichung vollständig beschrieben ist.-Lagemaße: Modus, Median und Mittelwert sind identisch-Schiefe und Kurtosis: entsprechen 0.-Grundanforderung zahlreicher multivariater Analysemethoden!
• Binomial Test Anwendung: Wenn die Anteilswerte einer Stichprobe mit denen einer zuvor festgelegten Annahme vergleichen werden sollen.Annahmen: Es liegt eine Stichprobe mit n Beobachtungseinheiten vor -Die Prüfgröße ist binomialverteilt mit dem Erwartungswert n*p0-Test: Der Test überprüft, ob die relative Häufigkeit der Ausprägung A mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit p0 vereinbar ist-Hypothese: H0: p = p0H1: p ≠ p0
• Binomial Test: Vorgehen -Zunächst werden in der Stichprobe die Beobachtungseinheiten mit der Ausprägung A gezählt. Diese Anzahl sei i ; sie fungiert als Prüfgröße. Die relative Häufigkeit i /n ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p der Grundgesamtheit-Danach wird der Annahmebereich ermittelt. Falls die Prüfgröße innerhalb dieses Bereichs liegt, wird die Nullhypothese beibehalten, ansonsten wird sie abgelehnt-Das Testverfahren basiert auf der Tatsache, dass unter der Nullhypothese die Prüfgröße binomialverteilt ist mit dem Erwartungswert n*p0 -Damit lässt sich für jedes Ereignis X = i die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen
• Chi Quadrat-Tests -Anwendung: zur Prüfung für Hypothesen über bestimmte Verteilungsannahmen.Annahmen und Voraussetzungen: -Es liegt eine Stichprobe mit n unabhängigen Beobachtungseinheiten vor-Daten sind mindestens nominalskaliert-Test: Der Test überprüft, ob es eine Differenzen zwischen den erwarteten Werten und den berechneten Werten gibt. Die Differenz wird mit der Maßzahl Chi Quadrat berechnet
• Kolmogorov-Smirnov Test Anwendung: zur Prüfung ob die Zufallsvariablen der Stichprobe normalverteilt sindHypothese: H0= Fx(x) = F0(x)H0= Die Zufallsvariablen X der Stichprobe sind normalverteilt nach F0(x)Vorgehen: Die mathematische Berechnung wird in diesem Kurs nicht näher erläuter
• Test auf Normalverteilung - allgemein -Der beobachtete Mittelwert, die Standardabweichung und der Stichprobenumfang werden benutzt, um eine hypothetische Normalverteilung, die auf diesen Parametern basiert, zu generieren-Berechnung einer maximalen Abweichung zwischen der beobachteten und der hypothetischen (normalverteilten) Verteilung-Ist die tatsächliche Abweichung größer als die errechnete maximale Abweichung, dann wird die Normalverteilung abgelehnt
• Test auf Normalverteilung - Der Kolmogorov-Smirnov-Test -Wir testen mit Hilfe eines Hypothesentests:Ho: Die Werte der getesteten Variablen sind normalverteilt-Bei einem Signifikanzwert von <0.05 ist die Annahme der NV gemäß einem Test auf dem 5%-Signifikanzniveau abzulehnen
• Man Whitney U Test -Anwendung: zur Prüfung ob beide Stichproben der gleichen Grundgesamtheit entstammen.-Annahmen: Zwei jeweils identisch verteilte Teilstichproben, die unabhängig voneinander erhoben wurden & OrdinalskalierungH0: Gleiche Grundgesamtheit bzw. die gleiche Rangverteilungen Vorgehen: Berechnung der jeweiligen Rangsummen U:Ux = mn +m(m + 1)/ 2 − Rx und Uy = mn +n(n + 1)/2 − Ry Für die Teststatistik gilt dann: U := min{Ux ,Uy}U ist unter H0 approximativ N(mn/2, mn(m+n+1)/12)-verteilt-Faustregel für den U-Test: Damit die Ergebnisse des U-Tests genau genug sind, muss gelten: n ≥ 4 und m ≥ 4; n + m ≥ 20->Um das Vorgehen dieses Tests zu verstehen, muss man sich mit dem Begriff des Rangs einer Beobachtung vertraut machen:- Eine häufige Vorgehensweise bei nichtparametrischen Verfahren ist die Bildung von Rängen aus der Stichprobe. Dies bedeutet, dass man bei einer realisierten Stichprobe die Werte aufsteigend nach der Größe ordnet, d.h. es gilt X(1,m) < X(2,m) < · · · < X(m-1,m) < X(m,m).- Dann ist der Rang von X(1,m) gerade 1, usw., der Rang von X(m,m) ist also m- Für den U-Test werden beide Gruppen zunächst zusammengefasst und jedem Wert wird ein Rang zugeordnet, d.h. die kleinste Beobachtung bekommt den Rang 1, die größte Beobachtung den Rang m + n zugewiesen
• McNemar-Test -Anwendung: Der Test ist ein Häufigkeitstest für zwei verbundene Stichproben, die hinsichtlich eines Alternativmerkmals mit den Ausprägungen A und A zu vergleichen sind-Hypothese: H0: Die Stichproben stimmen bezüglich der Häufigkeitsverteilung übereinVorgehen: - Ermittlung der Häufigkeiten- Berechnung der Prüfgröße: Chi2= (b-c)2/b+c- Falls in der Prüfgröße gilt: b+c ≤ 30, dann: Chi2= (| b-c| −1)² /b+c- Voraussetzung: (b+c)/2 ≥ 5- Falls der Wert der Prüfgröße größer als Chi21;1-α(3,841) ist, wird die Alternativhypothese angenommen

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